３次元空間にある物体の回転は(x,y,z)軸の組（フレーム）の向きを固定した取り直しで指定されます。この操作はSO(3)と呼ばれるあつまり（群）をつくります。するとぐるぐる回すという回転操作の過程はSO(3)の中の曲線を意味することとなります（世界線）。
よって、ぐるぐる回してもとに戻る過程はSO(3)の閉曲線をつくることとなります。一気に３次元だとちょっと難しいので２次元での回転つまりSO(2)から考えてみましょう。つまり地面の上に張り付いたアリやぎっくり腰で高さ方向の自由を失った人をかんがえるわけです。このときは、右回りに１回る操作と２回る操作、３回，４回、、、左回りに１回、２回、、、という操作はすべて別な操作で、連続に変形できないことはよく理解していただけると思います。このぐるぐる回す過程は３次元では２種類しか本質的にないというと皆さんおどろかれますか？さしあたっては、以下の絵でたのしんでみてください。
くわしくはまた。
From “Spinor and space-time” R. Penrose & Q.Rindler